Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立．如果实数m、n满足

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1﹣x）+f（1+x）=0恒成立如果实数m、n满足不等式组，m>3且f(m^2-6m+23)+f （n^2-8n)<0求m^2+n^2取值范围

Answer 1

由f(1-x)+f(1+x)=0，得f[1-(x-1)]+f[1+(x-1)]=0，即fl(2-x)+f(x)=0，所以f(m^2-6m+23)+f （n^2-8n)<0=f(m^2-6m+23）+f[2-(m^2-6m+23)]，由于f（x）是定义在R上的增函数，所以有n^2-8n<-m^2+6m-21，即m^2+n^2<6m+8n-21≤√(（6^2+8^2）(m^2+n^2))-21=10√(m^2+n^2)-21（柯西不等式）当且仅当6n=8m时等号成立，解之得9<m^2+n^2<49,又m^2+n^2<6m+8n-21得(m-3)^2+(n-4)^2<4，且m>3得3<m<5,2<n<6,所以13<m^2+n^2<89，故综上，所求取值范围为(13,49)