Question

如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，

则△AMN周长最小为多少。
AB=1，AD=2.

Answer 1

解：延长AB到E,使BE=AB；延长AD到F,使DE=AD
连接EF,分别交BC, CD与点M, N
则△AMN周长的最小值就是EF的长。

作FG⊥AE于G。

作图得，AE=2AB=2，AF=2AD=4

∵∠FAE=120° ∠G=90°

∴∠GFA=30°

∴AG=1/2AF=2 FG=√(AF²-AG²)=2√3

∴EF=√[(AE+AG)²+FG²]=√[(2+2)²+12]=2√7

∴⊿AMN的周长：AM+MN+AN=EM+MN+FN=EF=2√7

Answer 2

延长AB到E,使BE=AB
延长AD到F,使DE=AD
连接EF,分别交BC, CD与点M, N
则△AMN周长的最小值就是EF的长

追问

AB=1，AD=2. 最小值是多少？

Answer 3

延长AB到E,使BE=AB
延长AD到F,使DE=AD
根据垂直平分线原理，AM=EM,AN=FN
所以△AMN周长=EM+MN+NF
直线距离最短即：E,M,N,F共线即：M,N分别为EF与BC,DC的交点
MIn=EF

追问

AB=1，AD=2. 请问EF是多少

Answer 4

就是图中EF的长度。利用余弦定理，得根号下28