Question

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C． （1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长； （2）

如图AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．（1）若AB=2，∠P=30°，求AP的长；（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

（1）AB/AP=tan∠P=tan30°=1/2，所以AP=2AB=4
（2）连接OC,OD,AC，在△ACB中，因为AB是直径，所以AC⊥BC，所以∠ACP是直角
在直角三角形ACP中，CD是斜边AP的中线，所以CD=AD，在△AOD和△OCD中，OC=OC,OD=OD,CD=AD，所以△AOD≌△OCD，所以∠COD=∠OAD，因为AP是切线，所以∠OAD=90°，所以∠OCD=90°，所以CD是切线

Answer 2

解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线

∴∠BAP=90°

∵∠P=30°

∴BP=2AB=4

∴AP=√(BP²-AB²)=2√3

(2)连接OD、OC。

∵AO=BO AD=DP

∴OD∥BP

∴∠ODP=∠P=30° ∠B=∠AOD

∴∠AOD=60°

∠B=60°

∵OB=OC

∴∠BOC=60°

∴∠COD=180°-∠BOC-∠AOD=60°

∴∠COD=∠AOD=60°

∵OA=OC OD=OD

∴⊿AOD≌⊿COD

∴∠OCD=∠A=90°

∴CD是⊙O的切线