Question

在三角形ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2bsin(A+π/6)=c （1）求角B的大小；

(2）若三角形ABC为锐角三角形，求sinAsinC的取值范围

Answer 1

解：(1)∵2bsin(A+π/6)=c
又b/sinB=c/sinC
∴2sinB*sin(A+π/6)=c
∴√3sinA+cosA=sinC/sinB
∵A+B+C=π
∴√3sinA+cosA=sin(A+B)/sinB
∴√3sinA+cosA=sinA*cosB/sinB+cosA*sinB/sinB
∴√3=cosB/sinB
∴tanB=√3/3
∴B=π/6
(2)∵2sinB*sin(A+π/6)=sinC
由(1)，知B=π/6
∴sin(A+π/6)=sinC
∴sinA*sinC=sinA*sin(A+π/6)
=(1/2)*[cos(A-A-π/6)-cos(A+A+π/6)]
=√3/4-(1/2)*cos(2A+π/6)
∵A+C=5π/6，A、C都为锐角
∴π/3<A<π/2
∴5π/6<2A+π/6<7π/6
∴-1≤cos(2A+π/6)<-√3/2
∴√3/2<√3/4-(1/2)*cos(2A+π/6)≤√3/4+1/2
故sinA*sinC的取值范围为(√3/2，√3/4+1/2]

Answer 2

2bsin(A+Pai/6)=c

正弦定理得到:2sinBsin(A+Pai/6)=sinC
2sinB(sinA*根号3/2+1/2cosA)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
根号3sinBsinA=sinAcosB
由于sinA不=0,故有sinB/cosB=tanB=根号3/3
故角B=30度
(2)sinAsinC=sinAsin(150-A)=sinA[1/2cosA+根号3/2sinA=1/4sin2A+根号3/4*(1-cos2A)
=1/2sin(2A-Pai/3)+根号3/4
由于0<A<90,故有-Pai/3<2A-Pai/3<2Pai/3
所以有:-根号3/2<sin(2A-Pai/3)<=1
故有范围是(0,1/2+根号3/4]