Question

请问这个常微分方程组如何求解?

x'(t)=a*x;
y'(t)=b*x-c*y;
z'(t)=c*y;
初始条件：x(0)=1; y(0)=0; z(0)=0
其中a, b, c为常数
谢谢！

Answer 1

x(t)=e^(a*t);
y(t)=b/(a+c)*[e^(a*t)-e^(-c*t)]
z(t)=b*c/(a+c)*[e^(a*t)/a+e^(-c*t)/c]

追问

你好，请问能提供一下具体的求救过程么？我想具体的学习一下。如果是手写的，可以拍照上传，可以加倍给分。多谢！

追答

第一个方程的通解为x=d*e^(a*t)，根据初始条件x(0)=1,将t=0代入通解，求得d=1。

第二个方程为y'=b*e^(a*t)-c*y,通解为齐次方程的通解+特解
齐次方程为y'=-c*y,通解为y=d*e^(-c*t),d为待定常数。
需要找个特解，可以猜特解为y=g*e^(a*t),g为常数，代入方程并消去左右两边的e^(a*t)，得
a*g=b-c*g,所以g=b/(a+c)
所以第二方程的通解为：y=d*e^(-c*t)+b*e^(a*t)/(a+c).
根据初始条件，y(0)=0,将t=0代入通解，求得d=-b/(a+c).就是上面的结果。

第三个方程形式为 z'(t)=c*b/(a+c)*[e^(a*t)-e^(-c*t)]，将右边表达式关于t积分就是z，所以z的通解为
z=d+b*c/(a+c)*[e^(a*t)/a+e^(-c*t)/c], d为积分常数。根据初始条件z(0)=0将t=0代入通解，求得
d=-b/a,所以解是z(t)=-b/a+b*c/(a+c)*[e^(a*t)/a+e^(-c*t)/c]。

对不起，上面的第三个结果有点错误。