Question

请问大神这道题怎么解啊？

设F(t)=∫∫∫f(x^2+y^2+z^2)dv,其中f为连续函数，f`(t)存在，而f(0)=0,f`(0)=1, 则limF(t)/t^5
x^2+y^2+z^2<=t^2

Answer 1

x^2+y^2+z^2<t^2表示一个球
则∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv=∫《ρ从0积分到t》4πρ²·f(ρ)dρ =4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ
则lim(t趋向于0)1/πt^4∫∫∫Df(根号下x^2+y^2+z^2)dv
=lim(t趋向于0) [1/πt^4]·[4π ∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ]
=lim(t趋向于0) [ 4∫《ρ从0积分到t》ρ²·f(ρ)dρ] /t^4
=lim(t趋向于0) [ 4t²·f(t)] /(4t^3) 【洛比达法则】
=lim(t趋向于0) f(t) /t
=lim(t趋向于0) [f(t)-f(0)] /(t-0)
=f'(0) 【导数的定义】

追问

积分的微元变换不对吧？dv!=dp，

追答

哦