Question

如图，高数数学求第六题？

这个怎么求呢？

Answer 1

(6)

x->0

cosx =1-(1/2)x^2 +o(x^2)

(cosx)^(1/3)

=[1-(1/2)x^2 +o(x^2)]^(1/3)

=1-(1/6)x^2 +o(x^2)

cosx -(cosx)^(1/3) = -(1/3)x^2 +o(x^2)

lim(x->0) [cosx- (cosx)^(1/3)] /(sinx)^2

=lim(x->0) [cosx- (cosx)^(1/3)] /x^2

=lim(x->0)  -(1/3)x^2 /x^2

=-1/3

追问

话说那个o是啥？

追答

根据泰勒公式
cosx = 1-(1/2)x^2+(1/24)x^4+...
o(x^2) 代表所有的 x^n 项 (n>2)
cosx = 1-(1/2)x^2 +o(x^2)

追问

好吧，还有别的方法吗？我才大一，老师没讲过泰勒公式

追答

lim(x->0) [cosx- (cosx)^(1/3)] /(sinx)^2
=lim(x->0) [cosx- (cosx)^(1/3)] /x^2 (0/0 分子分母分别求导）
=lim(x->0) [-sinx- (1/3)(cosx)^(-2/3).(-sinx)] /(2x)
=[ lim(x->0) sinx/x ] .lim(x->0) [-1+ (1/3)(cosx)^(-2/3)] /2
=lim(x->0) [-1+ (1/3)(cosx)^(-2/3)] /2
=( -1 + 1/3)/2

=-1/3

Answer 2

直接用泰勒公式，既简单又不容易错，不需要太多，因为分母就是二阶无穷小，
原式=lim《x->0》{[cosx-3次根号(cosx)]/(sinx)^2}
=lim《x->0》{[(1-x^2/2)-(1-x^2/2)^(1/3)]/x^2} 第1次用泰勒公式，
=lim《x->0》{[(1-x^2/2)-[1+(-x^2/2)*(1/3)]]/x^2} 再一次用泰勒公式
=lim《x->0》{-x^2/2+x^2/6]/(x^2)}
=-1/3

追问

看起来是简单，但泰勒我们没学，才大一渣渣