Question

初三数学几何证明题（请数学高手看看）回答得好，悬赏至少20分。

如图，RT△ACB中，∠ACB=90°，在BC的延长线上取点D，在线段AC上取点E，使
∠EDC=∠CAB，连接AD、BE，作CM⊥AD，CN⊥AB，垂足分别为M、N，与ED交于F，EB交于G，
（1）求证：四边形EFCG是平行四边形
（2）连接MN，求证：△CMN∽△EDB

Answer 1

(1)、延长DE交AB于H，∵∠EDC=∠CAB，∴对于⊿EDC和⊿EAH有∠EHA=∠EDC=90°，
而CN⊥AB，∴DE∥CN；
延长BE交AD于J，对于⊿ADB，AC、DH是两条高，则E是⊿ADB的垂心，BE也是一条高，∴BE∥CM，故EFCG是平行四边形。
(2)、∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴A、M、C、N四点共圆，
∠CMN=∠CAN=∠EDC；
而由前证EFCG是平行四边形得∠MCN=∠DEB,
∴△CMN∽△EDB.

Answer 2

1，
∠EDC=∠CAB，则∠DEC=∠CBA;CN⊥AB,则∠DEC=∠CBA=∠NCA;所以DE∥CN;
所以，△CDE∽△CAB,则CE/CB=DC/AC,
所以CE/DC=CB/AC,而△DCA和△ECB都是直角三角形
所以△DCA∽△ECB，
（这个能理解吧？如果不能则设CE/DC=CB/AC=k，则可知他们的斜边长的比为√(CE^2+CB^2)/√(DC^2+AC^2)=√[(k^2*DC^2+k^2*AC^2)/√(DC^2+AC^2)=k=CE/DC=CB/AC
所以△DCA∽△ECB）
所以∠BEC=∠CDA=∠MCA(因为CM⊥AD)
所以BE∥CM;
所以四边形EFCG是平行四边形

Answer 3

我就会证第一问
证：因为RT△ACB中，∠ACB=90°
所以∠CAN+∠ABC=90°
RTΔBCN中，∠CNB=90°
所以∠NCB+∠CBN=90°
所以∠NCB=∠CAB=∠EDB
所以EF//CG
同理EG//FC
所以四边形EFCG是平行四边形