Question

求解一道高中数学题

Answer 1

（Ⅰ）、如图所示，连接AC，交BD于点F，连接EF。

因为在菱形ABCD中AC、BD为对角线，易知点F为AC中点，

又因为点E为PC中点，所以EF为△PAC中位线，有PA∥EF，

EF在平面BDE上，PA不在平面BDE上，所以PA∥平面BDE。

（Ⅱ）、如图所示，分别过点P、E作CD的垂线PG、EH，垂足G、H均在CD上。

因为点P在底面的射影在CD上，所以平面PCD⊥平面ABCD，

因为平面PCD与平面ABCD交于CD，PG⊥CD，EH⊥CD，

所以PG⊥平面ABCD，EH⊥平面ABCD，△PGC∽△EHC，有PG/EH=PC/EC，

因为菱形ABCD中∠ADC=120°，△PDC为PD=1的等边三角形，

所以PG=(√3)/2，△BCD为边长为1的等边三角形，面积为(√3)/4，

则三棱锥P-BCD的体积为△BCD面积×PG×1/3=[(√3)/4]×[(√3)/2]×1/3=1/8，

又因为三棱锥P-BDE的体积为1/32，所以三棱锥E-BCD的体积为1/8-1/32=3/32，

而三棱锥E-BCD的体积为△BCD面积×EH×1/3=[(√3)/4]×EH×1/3=3/32，

算得EH=(3√3)/8，所以PG/EH=PC/EC=[(√3)/2]/[(3√3)/8]=4/3，

即3PC=4EC，而PC=PE+EC，所以3×(PE+EC)=4EC，

化简得3PE=EC，所以PE/EC=λ=1/3。

Answer 2

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