Question

高数。第4题，第12题求解。谢谢！

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Answer 1

(4). 向量a={2，-1，-2}；设向量b={2m，-m，-2m}；
则数量积a•b=4m+m+4m=9m=3，故m=1/3；∴向量b={2/3，-1/3，-2/3}；
(12). 求两条不平行直线L₁：(x+1)/1=y/1=(z-1)/2； L₂：x/1=(y+1)/3=(z-2)/4 之间的最短
距离。
解：L₁的方向矢量N₁={1，1，2}；L₂的方向矢量N₂={1，3，4}；
它们的公垂线的方向矢量N=N₁×N₂=-2i-2j+2k={-2，-2，2}；
过直线L₁上的点M₁(-1，0，1)并以N为法向矢量的平面α的方程为：
-2(x+1)-2(y-0)+2(z-2)=-2x-2y+2z-6=0，化简得 x+y-z+3=0...........①
过直线L₂上的点M₂(0，-1，2)且以N为法向矢量的平面β的方程为：
-2(x-0)-2(y-3)+2(z-4)=-2x-2y+2z-2=0，化简得：x+y-z+1=0...........②
直线L₁在平面α上，直线L₂在平面β上，平面α与平面β有相同的法向矢量，因此α∥β;
∴α与β的距离d就是L₁与L₂的最短距离。过L₁上的点M₁(-1，0，1)并以N为方向矢量
的直线L的方程为：(x+1)/(-2)=y/(-2)=(z-1)/2=m；转换成参数方程得：x=-m-1；
y=-2m；z=2m+1；代入平面β的方程得：(-m-1)-2m-(2m+1)+1=-5m-1=0
∴m=-1/5；于是得L与β的交点P的坐标为(-4/5，2/5, 3/5）；
∣PM₁∣=√[(-1+4/5)²+(0-2/5)²+(1-3/5)²]=√(9/25)=3/5；
即L₁与L₂的最短距离=3/5；

Answer 2

4、因为b与a平行，所以b=ka，其中k为常数，且k≠0
a*b=a*(ka)
=k(a*a)
=k(4+1+4)
=9k
=3
k=1/3
所以b=(1/3)a=(2/3,-1/3,-2/3)
12、设直线L1上的任意一点A(a-1,a,2a+1)，直线L2上的任意一点B(b,3b-1,4b+2)
|AB|^2=(a-b-1)^2+(a-3b+1)^2+(2a-4b-1)^2
=6a^2+26b^2+3-24ab-4a+4b
令f(a,b)=6a^2+26b^2+3-24ab-4a+4b
fa'=12a-24b-4=0
fb'=52b-24a+4=0
联立求得驻点a=7/3，b=1
f(7/3,1)=98/3+26+3-56-28/3+4=1/3
即|AB|的最小值为√3/3