Question

如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,AD交BE于F，G为BC中点，AD=BC，连接FG。 求证DF+GF=0.5BC

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Answer 1

∵∠AFE＝∠BFD、∠AEF＝∠BDF＝90°，∴∠CAD＝∠FBD（等角的余角相等）。
∵∠CAD＝∠FBD、∠ADC＝∠BDF＝90°，∴△ACD∽△BFD，∴CD/DF＝AD/BD，
∴CD×BD＝AD×DF，又AD＝BC，∴CD×BD＝BC×DF，
∴（CG－DG）（BG＋DG）＝BC×DF，而BG＝CG、BC＝2CG，
∴（CG－DG）（CG＋DG）＝2CG×DF，∴CG^2－DG^2＝2CG×DF。······①

在Rt△DFG中，由勾股定理，有：DG^2＝FG^2－DF^2。······②
将②代入到①中，得：CG^2－（FG^2－DF^2）＝2CG×DF，
∴CG^2－2CG×DF＋DF^2＝FG^2，∴（CG－DF）^2＝FG^2。······③

∵DF⊥CD、EF⊥CE，∴C、E、F、D共圆。
很明显，∠DCE是锐角，∴∠DFE是钝角，∴∠EFG是钝角，∴EG＞FG＞DF。
∵BE⊥CE、G是BC的中点，∴EG＝（1/2）BC＝CG，∴CG＞DF，∴由③，得：
CG－DF＝FG，∴DF＋FG＝CG＝（1/2）BC。