Question

已知函数f(x)=a/2x^2-2x+(a-4)lnx,a＞0,若函数在（1，2）上有极值，求a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=ax-2+(a-4)/x=[ax^2-2x+(a-4)]/x
设g(x)=ax^2-2x+(a-4)
函数f(x)在（1，2）上有极值
即g(x)=ax^2-2x+(a-4)在（1，2）有零点

设g(x)=ax^2-2x+(a-4)在（1，2）没有零点
当Δ=4-4a(a-4)<0
a<2-√5或a>2+√5
∴a>2+√5
当Δ=4-4a(a-4)>=0时
0<a<=2+√5
g(1)>=0
g(2)>=0
∴a>=3
或g(1)<=0
g(2)<=0
0<a<=8/5
没有零点a的范围（0,8/5]∪[3,+∞）
∴有零点a的范围（8/5,3）
∴若函数在（1，2）上有极值，求a的取值范围（8/5,3）

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