Question

若随机变量x的概率密度为f（x）{ax2+bx+c,0<x<1,0,其他}且E（X）=0.5,D（X）=0.15，求a,b,c.

Answer 1

解：这题变相考你定积分而已。
EX = 定积分 （x从0到1）(ax^2 + bx + c)x dx
= ax^4/4 + bx^3/3 + cx^2/2 | 0到1
= a/4 + b/3 + c/2 = 0.5， (1)
EX^2 = 定积分 (x从0到1) (ax^2 + bx + c)x^2 dx
= ax^5/5 + bx^4/4 + cx^3/3 | 0到1
= a/5 + b/4 + c/3 ，
于是DX = (a/5 + b/4 + c/3) - 0.25 = 0.15，于是
a/5 + b/4 + c/3 = 0.4， (2)
最后一个条件就是概率密度本身的积分要等于1：
1 = 定积分 (x从0到1) ax^2 + bx + c dx
= ax^3/3 + bx^2/2 + cx | 0到1
= a/3 + b/2 + c ， (3)
联立（1），（2），（3），可以解出：
a = 12, b = -12, c = 3.