Question

求解一道大学物理质点运动题？

Answer 1

规定质点运动圆轨迹的圆心为原点，建立坐标系。因质点沿圆周运动，其法向加速度an始终指向原点，而切向加速度aτ始终与其垂直，根据矢量求和法则，当总加速度a与径向成45°角时，必有：
|aτ|=|an|=|a|/√2
另外考虑质点由静止加速，其速率|v|满足：
d|v|/dt=|aτ|=2t
解上述微分方程，得到：|v|=t²
代入前式，得到题设时刻的表达式：
2t=|aτ|=|an|=|v|²/R=t^4/4
解得：t=2s
规定起始时刻θ＝0，那么待求的Δθ就等于t＝2s时刻的角位移θ。对于圆周运动，根据角速度ω的定义有：|ω|=|v|/R，所以：
d²θ/dt²=角加速度α=d|ω|/dt=d|v|/(Rdt)=|aτ|/R=t/2
积分得到：θ=t³/12
代入t=2，解得：θ=0.667rad=120°

Answer 2

为避免手机显示方面的误解，下面把题中切向加速度的符号改为a切，谢谢。
分析：由于质点初速为零，那么线速度大小
V=∫a切*dt=∫2* t*dt=t^2
当总加速度（即合加速度）a与半径成45度角时，法向加速度与切向加速度大小相等，得
a法=a切=2t
（1）根据 a法=V^2 / R 得
2t=(t^2)^2 / R
即 t^3=2R=2*4=8
t=2秒
（2）角位移可用积分方式求解。
⊿θ=∫ω dt ，t的积分区间从0到2秒。
即 ⊿θ=∫（V/R）dt
=∫（ t^2 / R）dt
= t^3 /（3R）
前面已经得到 2秒内 t^3 /R=2
所以 ⊿θ=2/3 弧度。
注：若直接把t的积分区间代入，与得相同结果。

Answer 3