Question

初三数学题！急求解！动点问题！

已知在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(4,0)，D(1,3)，P为OA上一动点，以PD、PB为边做平行四边形PBCD。
（1）请说明平行四边形PBCD不能为矩形。
（2）图①中，设对角线PC与BD交于点G，请问对角线PC的长是否存在最小值？
（3）图②中，P为OA边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，以PE、PB为边做平行四边形PBCE，请探究对角线PC的长是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由。

*请写出详细步骤，第三问也是。

Answer 1

（1）G（5/2,3/2）为DB中点
因为是矩形，所以PG=DG=3√2/2
即看Y轴上是否存在点P使PG=3√2/2
而事实上PG的最小值为5/2，比3√2/2大，所以平行四边形PBCD不能为矩形
（2）对角线PC的长最小值则看PG的最小即可
PG的最小值为5/2，所以存在最小值为5，P（0,3/2）
（3）PC最小时，PC⊥Y轴
设点P（0，t)则E（2,6-t),BE中点G（3,3-t/2)在PC上
3-t/2=t
t=2
所以PC最小值为6

追问

1. 在（1）中，请问G点坐标是如何求得的？

2. 在（2）中，是不是应该考虑到AD=OE=1，过D点作DE⊥x轴于点E，BE=OB-OE=4-1=3，再利用勾股定理求得PC的最小值即为PC=3√2.

3. 请问E点坐标和G点坐标是如何求得的？为什么有3-t/2=t？第（3）问的解题思路大致是怎样的？

追答

（1）D（1,3）B（4，0）
G的横坐标（1+4）/2=5/2，纵坐标（3+0）/2=3/2
（2）第二小题压根没出现过E，E是第三题中的
（3）E点坐标求法：设点P（0，t)，D为PE中点，D（1,3）则E（2,6-t)（如果你看懂了第一题，这点就不用解释了，看不懂可以Hi我一下）

G点坐标求法：B（4,0）E（2,6-t)则G（3,3-t/2)

因为PC最小时，PC⊥Y轴，则PC：Y=t

因为G在PC上 所以有3-t/2=t
思路我是由第二题的思路延生的，第二题中，如果PG与Y轴斜着相交，则过G做Y轴垂线，直角三角形中，直角边一定比斜边短，所以要最小时，PG一定垂直于Y轴（这是用到了反证法）

追问

第（1）问，恩，懂了，谢谢。

第（2）问，是我没说清楚，第二问我作了一条垂线，过D点作DE⊥x轴于点E，然后求出BD=PC=3√2.我觉得你应该注意一下第一问的暗含提示：平行四边形PBCD不能为矩形。即PG≠CG，也就是说你不能够把G点横坐标5/2乘以2得到PC的长，尽管G点的确是平行四边形PBCD的对角线交点。

第（3）问，或许是我只有初三水平？我还是不懂E（2,6-t）是怎么求得的。。。。

追答

第二问，G点的确是平行四边形PBCD的对角线交点，平行四边形中对角线互相平分这总没有错吧
第三问，D（1,3）P（0，t)，E（x,y)则x+0=1*2,y+t=3*2

如果还有问题的话，你后天再问我，明天我不在家
第二问是你搞错了，BD=PC这就说明它是矩形了，是你自相矛盾了