Question

求以下几题的麦克劳林公式

Answer 1

1题，∵sint=∑[(-1)^n][t^(2n+1)]/(2n+1)!，∴sint²=∑[(-1)^n][(t²)^(2n+1)]/(2n+1)!，∴原式=∑[(-1)^n][x^(4n+3)/[(4n+3)(2n+1)!]。其中，n=0,1,2，…，∞；x∈R。
2题，∵e^t=∑(t^n)/n!，∴原式=∑∫(0,x)[t^(n+2)dt/n!)=∑[t^(n+3)/[(n+3)(n!)]。其中，n=0,1,2，…，∞；x∈R。
3题，当丨2x丨<1时，f(x)=1/(1-2x)=∑(2x)^n，其中，n=0,1,2，…，∞；丨x丨<1/2。
4题，丨x丨<1时，1/(1-x)=∑x^n。两边对x求导，∴1/(1-x)²=∑nx^(n-1)=∑(n+1)x^n。∴f(x)=x²∑(n+1)x^n=∑(n+1)x^(n+2)，其中n=0,1,2，…，∞；丨x丨<1。
5题，∵丨x丨<1时，1/(1+x)=∑(-x)^n，f(x)=x²∑(-x)^n=∑(-x)^(n+2)，其中，n=0,1,2，…，∞；丨x丨<1。
供参考。