Question

已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a大于0)将三角形ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是

Answer 1

直线y= ax+b与y轴交点是(0, b).  b必在OC段上．故1>b>0

设直线y= ax+b与AB, OC, BC的交点是M, P, N

M的坐标是 (-b/a, 0)

N的坐标解方程组

y= ax+b

x+y =1

得到

N的坐标是 ((1-b)/(1+a), (a+b)/(1+a))

三角形OPM, CPN面积需相等

1/2 * OM * OP = 1/2 * CP * N到y轴距离

即

b/a *b = (1-b) *(1-b)/(1+a)

b²/a = (1-b)²/(1+a)

b²/(1-b)² = a/(1+a)

b/(1-b) = √a/ √(1+a)

两边+1后取倒数

1-b = √(1+a) / (√a + √(1+a))

b = √a / (√a + √(1+a))

= 1/ (1 +  √(1/a +1))

1/a取值范围是 0~无穷大, 分母取值范围是2~无穷大

0<b<1/2

更正:

b不能无限制趋近于0, 下限应该是1-√2/2

y=ax+b趋近于水平

取极限时,三角形AMN, ABC相似,面积比1:2,相似比1:√2

有关系(1-b):1 = 1:√2

解之得

b = 1- √2/2

所以  1- √2/2 < b < 1/2