Question

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时，f（x）∈[0，1)（1）判断在[0,+∞)上的单调性（2）若a≥0且f（a+1）≤9的三次方根，求a的范围

Answer 1

（1）f(1)=f(-1)^2=1 f（0）=f（0）^2又f（x）∈[0，1)所以f(0)=0 f(27)=9=f(x*y)=f(x)f(y),若0<x<1，那么可得f（x）<>0,所以0<1时，f（x）∈(0,1) f（x^2）=f（x）^2 0<x<1时x^2<x 又f（x）∈（0，1)所以f（x^2）=f（x）^2 时f（x^2）<f（x） 所以x^2<x 时f（x^2）<f（x）单调增 f（1）=f(x)f(y)令0<x<1则y=(1/x)>1 f(1/x)=1/f(x)因为f(x)单调增，所以f（y）单调增 所以当0≤x<1单调增且f（x）<1,f(1)=1,x>1时f(x)>1单调增 所以[0,+∞)单调增（2）f(x^3)=f(x)^f(x^2)=f(x)^3 f(27)=9 所以 f(27^3)=9^3 又a>=0所以1≤a+1所以 0≤a≤27^3-1

Answer 2

1）令x1＞x2 则可以设a*x1=x2(a∈（0，1))则f(a)∈[0，1)
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1*a)=f(x1-f(x1)f(a)=f(1)(1-f(a))
则易知f(1)(1-f(a))＞0
则原函数为在[0,+∞)上为增函数
2）9^3=f(27)*f(27)*f(27)=f(27^3)
又因为a≥0 则a+1大于0 又因为f(x)在[0,+∞)上为增函数
则原不等式f(a+1)≤f(27^3)可化为a+1≤27^3
所以a的取值范围为0≤a≤1-27^3

Answer 3

由f(x1)[1-f(a)]不一定小于零吧，题目没有说f(x)与零的关系

Answer 4

1