Question

f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0是，f（x）+xf'（x）＜0，且f（-4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为？

请详细解释，谢谢，别复制，若是别人的网上的那些答案我看的懂我也不会重新问这个问题了。

Answer 1

f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), f'(-x)=-f'(x), f(4)=f(-4)=0
x<0时, f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0, ∴xf(x)在(-∞,0)上单调减
f(-4)=0,即x=-4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为x<-4
x>0时, -x<0, 则f(-x)-xf'(-x)<0, 即f(x)-x[-f'(x)]=f(x) xf'(x)=[xf(x)]'<0 ∴xf(x)在(0, ∞)上单调减
f(4)=0,即x=4时 xf(x)=0, ∴xf(x)>0的解为0<x<4
x=0时, xf(x)=0综上,xf(x)>0的解为(-∞,-4)∪(0,4)