Question

三角形abc中 角ABC的对边分别为abc,且acosC,-2bcosb,ccosA成等差数列，若b=2√7，S三角形ABC=2√3

三角形abc中 角ABC的对边分别为abc,且acosC,-2bcosb,ccosA成等差数列，若b=2√7，S三角形ABC=2√3，求a，c的值

Answer 1

因为acosC、-2bcosB、ccosA成等差数列，
所以，acosC+ccosA=-4bcosB
根据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入上式并消去2R得：
sinAcosC+sinCcosA=-4sinBcosB
即：sin(A+C)=-4sinBcosB
因为A+C+B=180，所以A+C=180-B，因此由诱导公式上式又可以化为：
sinB=-2sinBcosB
因为sinB不等于0，所以两边约去sinB，得：
1=-4cosB
即：cosB=-1/4

那么sinB=根号(1-1/16)=根号15/4
S=1/2acsinB=1/2ac*根号15/4=2根号3
ac=16/根号5
b^2=a^2+c^2-2accosB
28=(a+c)^2-2ac+2ac*1/4
(a+c)^2=28+3/2ac
估计题目的数字有点问题,做起来有点怪.

Answer 2

∵acosC、-2bcosB、ccosA成等差数列，
∴aCosC+cCosA=-4bCosB
根据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入上式并消去2R得：
SinACosC+SinCCosA=-4SinBCosB
即：Sin(A+C)=-4SinBCosB
∴SinB=4SinBCosB
∴4CosB=1
CosB=1/4
SinB=√15/4
又∵S△ABC=1/2acSinB
b/SinB=c/SinC=a/SinA
ac=√5