Question

已知椭圆(x2)/4+(y2)/3=1上有A和B不同两点且关于直线y=4x+m对称，求m的取值范围？

会做的同学麻烦你写出详细过程，本人在此多谢了！！！

Answer 1

设椭圆上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝4x＋m对称，
AB中点为M(x0，y0)。则
3x1^2＋4y1^2＝12，3x2^2＋4y2^2＝12，相减得到：3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0。由于M是AB的中点，所以x1＋x2＝2x0,y1＋y2＝2y0，即6x0(x1－x2)＋8y0(y1－y2)＝0。则k＝(y1－y2)/(x1－x2)＝－3x0/4y0＝－1/4，所以
y0＝3x0，代入直线方程y＝4x＋m得x0＝－m，y0＝－3m
因为(x0，y0)在椭圆内部。则3m^2＋4(－3m)^2＜12，解得＝2√13/13＜m＜2√13/13。
注意：利用点差法和对称关系得到x0和y0的关系是关键。
再介绍一种方法。
设与直线y＝4x＋m垂直的弦为y＝－1/4*x＋b，则{x^2/4＋y^2/3＝1，y＝－1/4*x＋b，消去y得13x^2－8bx＋16(b^2－3)＝0。设弦端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由韦达定理得<br/>x1＋x2＝8b/13。<br/>设弦AB中点为M(x，y)，则<br/>{x＝(x1＋x2)/2＝4b/13，y＝－1/4*4b/13＋b＝12b/13，即M(4b/13,12b/13)<br/>若椭圆上存在关于y＝4x＋m对称的两个不同的点，则<br/>{12b/13＝4*4b/13＋m，64b^2－4*13*16(b^2－3)＞0}，即{b＝－13m/4,b^2＜13/4，
所以m^2＜4/13，所以－2√13/13＜m＜2√13/13。

Answer 2

我会，可是我现在用手机登的不好打字，明天告诉你过程