Question

求解第二第三问的过程。。

Answer 1

解：
（1）
2S1=(a1)²+1=2a1
a1=1
2S2=(a2)²+1=2(a1+a2)
a2=2或者0,
∵an>0，
∴a2=2
2S3=(a3)²+1=2(a1+a2+a3)
a3=3
（2）
数学归纳法：
假设：an=n，因此：
1°当n=1时，由2S1=(a1)²+1，可得：a1=1，假设成立；
同理，当n=2,n=3时都成立；
2°假设当n=k时原式也成立，即：ak=k，那么：当n=k+1时：
2S(k+1) = [a(k+1)]²+(k+1)
2Sk = [ak]²+k
两式相减：
2a(k+1) = [a(k+1)]²-[a(k)]²+1
[a(k)]² = [a(k+1)]²-2a(k+1)+1
[a(k)]² = {a(k+1)] - 1}²
因此：
a(k) = a(k+1)] - 1，其中：a(k) = 1 - a(k+1)]舍去，因为a1=1,an>0
所以：
k= a(k+1)] -1
a(k+1)] = k+1
因此：
当n=k+1时，a(k+1)] = k+1也成立
综上，假设成立

本题不用猜想，能直接求出通项公式：
2Sn =(an)²+n
2S(n-1)=[a(n-1)]²+n-1
两式相减：
2an=(an)²-[a(n-1)]² +1
[a(n-1)]² =(an)²-2an+1
[a(n-1)]² = (an-1)²
因此：
a(n-1) = an - 1
或者
a(n-1) = 1 - an
由（1）知，a1=1，因此：
a(n-1) = 1 - an舍去
∴
an - a(n-1) =1
显然，这是首项为1，公差为1的等差数列，所以：
an=n

（3）
根据均值不等式：
(a+b)² ≤ 2(a²+b²)

[√(xan+1) + √(yan+1)]²
=√(xn+1) + √(yn+1)
≤ 2(xn+1+yn+1)
=2[n(x+y)+1]
=2(n+2)
因此：
√(xan+1) + √(yan+1) ≤ √2(n+2)
当且仅当，x=y时等号成立