Question

已知函数f(x)=lnx-（1/2）ax^2-2x的单调递减区间为(m,m+2),则a的值为

答案是(1-√5)/2 求详解

Answer 1

f'(x)=1/x-ax-2=-(ax^2+2x-1)/x,
a=0时0<x<1/2,f'(x)>0,f(x)是增函数，其他，f(x)是减函数，不合题意；
a≠0时f'(x)=-a(x-x1)(x-x2)/x,
其中x1=[-1+√(1+a)]/a,x2=[-1-√(1+a)]/a,
a>0时x1>0>x2,0<x<x1,f'(x)>0,f(x)是增函数，x>x1,f(x)是减函数，不合题意；
-1<a<0,0<x1<x2,f(x)的减区间是(x1,x2),即(m,m+2),
∴x2-x1=-2√(1+a)/a=2,√(1+a)=-a,
平方得1+a=a^2,∴a^2-a-1=0,a<0,
解得a=(1-√5)/2.
a<=-1时f'(x)>=0,f(x)是增函数。
综上，a=(1-√5)/2.