已知数列{an}的前n项之和Sn与an之间满足2Sn^2=2anSn-an (n>=2),且a1=2
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1.
证:
n≥2时,
2Sn²=2anSn-an=2[Sn-S(n-1)]Sn-[Sn-S(n-1)]
整理,得
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
等式两边同除以SnS(n-1)
1/Sn -1/S(n-1)=2,为定值。
1/S1=1/a1=1/2,数列{1/Sn}是以1/2为首项,2为公差的等差数列。
2.
1/Sn=(1/2)+2(n-1)=(4n-3)/2
Sn=2/(4n-3)
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=2/(4n-3)-2/[4(n-1)-3]
=2/(4n-3)-2/(4n-7)
=2[4n-7-(4n-3)]/[(4n-3)(4n-7)]
=-8/[(4n-3)(4n-7)]
n=1时,a1=-8/[(4-3)(4-7)]=-8/3≠2
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
-8/[(4n-3)(4n-7)] n≥2
证:
n≥2时,
2Sn²=2anSn-an=2[Sn-S(n-1)]Sn-[Sn-S(n-1)]
整理,得
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
等式两边同除以SnS(n-1)
1/Sn -1/S(n-1)=2,为定值。
1/S1=1/a1=1/2,数列{1/Sn}是以1/2为首项,2为公差的等差数列。
2.
1/Sn=(1/2)+2(n-1)=(4n-3)/2
Sn=2/(4n-3)
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)
=2/(4n-3)-2/[4(n-1)-3]
=2/(4n-3)-2/(4n-7)
=2[4n-7-(4n-3)]/[(4n-3)(4n-7)]
=-8/[(4n-3)(4n-7)]
n=1时,a1=-8/[(4-3)(4-7)]=-8/3≠2
数列{an}的通项公式为
an=2 n=1
-8/[(4n-3)(4n-7)] n≥2
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