Question

已知函数f(x)=ax^3-(3/2)x^2+1(x∈R),其中a>0

已知函数f(x)=ax^3-(3/2)x^2+1(x∈R),其中a>0
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若在区间[-(1/2),1/2]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
各位大神不要客气啊,越详细越好~~

Answer 1

(1) a=1 , f(x)=x^3-3/2x^2+1(x∈r), f(x)'=3x^2-3x
x=2 ,f(x)'=12-6=6 f（2）=3
切线方程为y=6x-9

(2))f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在（-∞,0] [1/a,∞）单增 [0,1/a]单减
极大值f(0)=1
极小值f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2

(3)f(x)'=3ax^2-3x (a>0)
f(x)'=0 得 x=0 或 x=1/a
x在[-1/2,0] [1/a,∞）单增 [0,1/a]单减
a≥2时 ，1/a≤1/2 f(x)最小值为f(1/a)或f(-1/2)
f(1/a)=1/a^2-3/2*1/a^2+1=1-1/2*1/a^2＞0 解得a＞2^½ ∴a≥2
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5
∴2≤a＜5
0＜a＜2时 ，1/a＞1/2 f(x)最小值为f(1/2)或f(-1/2)
f(1/2)=a/8-3/8+1=a/8+5/8＞0 恒成立
f(-1/2)= -a/8-3/8+1=-a/8+5/8＞0 解得a＜5 ∴0＜a＜2
综上可得 a的取值范围 0＜a＜5

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