Question

数学抛物线

设抛物线C:y^2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点。若|AF|=3|BF|，则l的方程为()

Answer 1

解：

不妨设直线的方程为：y=k(x-2)   （当直线斜率存在时）

由|AF|=3|BF|知：直线斜率一定存在

联立直线方程和抛物线方程得：

得方程：(k^2)(x^2)-[4(k^2)+4]x+4(k^2)=0

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

由韦达定理可得：x1+x2=4+[4/(k^2)]

                            x1*x2=4，

又|AF|=3|BF|，即有向量AF=3倍向量FB，即有：x1+3(x2)=4

                                                        又知x1+x2=4+[4/(k^2)]，故有：x2=(-2)/(k^2），x1=4+[6/(k^2)]

                                                         在以上两式的基础上，由x1*x2=4得：k^2=3

即有k=正负根号3，

所以直线的方程为：|y=(±√3   )(x-2)

解答完毕。谢谢

Answer 2

抛物线C的焦点(1,0)，准线为 x=-1；
设直线方程为 y=k(x-1)，代入C方程：k²(x-1)²=4x，即 k²x²-(2k²+4)x+k²=0；
设直线与抛物线交点横坐标 xa、xb，则 xa+xb=2 +4/k²，xa*xb=1；
由抛物线特性可知，|AF|=xa+1，|BF|=xb+1；
所以 xa+1=3(xb+1)，xa+xb=4xb+2=2 +4/k²；故 xb=1/k²，xa=3xb+2=3/k² +2；
xa*xb=(1/k²)*(3/k² +2)=1；解得 1/k²=1/3（负根舍去），k=±√3；
直线 l 的方程为：y=±√3(x-1)；

Answer 3

y=2(x-1)
y=-2(x-1)