Question

求助！高数题目！设f″（x）＜0,x∈［0，1］，证明：∫（0，1）f（x∧2）dx≤f（1/3）

求助！高数题目！设f″（x）＜0,x∈［0，1］，证明：∫（0，1）f（x∧2）dx≤f（1/3）.

Answer 1

∵f’’(x)<0，∴f’(x)在[0,1]上单调递减
当0≤x≤1/3时，f’(x)≥f’(1/3) ①
将①式两边在[x²,1/3]上积分得
∫{x²,1/3}f’(t)dt≥∫{x²,1/3}f’(1/3)dt，注：其中0≤x≤√3/3
则f(1/3)-f’(x²)≥f’(1/3)*(1/3-x²)
即f’(x²)≤f’(1/3)*(x²-1/3)+f(1/3)，x∈[0,√3/3]

类似可证得，f’(x²)≤f’(1/3)*(x²-1/3)+f(1/3)，x∈[√3/3,1]
综上，f’(x²)≤f’(1/3)*(x²-1/3)+f(1/3)，x∈[0,1] ②
将②式两边在[0, 1]上积分得
∫{0, 1} f’(x²)dx≤∫{0, 1} [f’(1/3)*(x²-1/3)+f(1/3)]dx
=[ f’(1/3)*(x³/3-x/3)+ f(1/3)*x]|{0, 1}
=f(1/3)
即∫{0, 1} f’(x²)dx≤f(1/3)，当且仅当x=√3/3时取等

追问

你的整体是对的，但f(x∧2)多了一撇

追答

是写错了

追问

嗯嗯