Question

高数题，该积分如何计算？求解

Answer 1

要计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy. 那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域. 下面计算这个二重积分: 解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π ∴∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫<D>e^(-r^2)*rdrdθ =∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ =-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ =π(1-e^(-a^2)) 下面计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx ; 设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}. D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}. S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}. 可以画出D1,D2,S的图. 显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式: ∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy. ∵∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,R>e^(-x^2)dx*=∫<0,R>e^(-y^2)dy =(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2. 又应用上面得到的结果:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2)) ∴∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)). ∴∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)). 于是上面的不等式可写成: (π/4)(1-e^(-R^2))<(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)). 令R→+∞,上式两端趋于同一极限π/4,从而 ∫<0，+∞>e^(-x^2)dx =sqrt(π)/2. 其中:sqrt(π)表示根号π.

Answer 2

如果是0到正无穷的定积分，用伽马函数得=伽马(1/2)=根号π

表示没有公式编辑真不爽

追问

这个是不定积分

追答

好像原函数不是初等函数