Question

高数级数求解？

请问这个第二问怎么解啊 麻烦过程详细一点 谢谢

Answer 1

(I)
an
=∫(e^2->∞) dx/[x(lnx)^(n+1)]
=∫(e^2->∞) dlnx/(lnx)^(n+1)
=-(1/n)[1/(lnx)^n]|(e^2->∞)
= 1/(n.2^n)
(II)
consider
1/(1+t)= ∑(n:0->∞) (-1)^n . t^n
1/[t(1+t)]= ∑(n:0->∞) (-1)^n . t^(n-1)

= 1/t + ∑(n:1->∞) (-1)^n . t^(n-1)
∫(1->x) dt/[t(1+t)]= ln|x| + ∫(1->x) ∑(n:1->∞) (-1)^n . t^(n-1) dt
ln| x/(1+x)| +ln2 = ln|x| + ∑(n:1->∞) (-1)^n . x^n/n +∑(n:1->∞) (-1)^n/n
= ln|x| +ln2 -1 + ∑(n:1->∞) (-1)^n . x^n/n
-ln|1+x| +1 =∑(n:1->∞) (-1)^n . x^n/n
x=1/2
∑(n:1->∞) (-1)^n /(n.2^n ) = 1 - ln2 +ln3
∑(n:1->∞) (-1)^(n-1) .an

=∑(n:1->∞) (-1)^(n-1) /(n.2^n)
=1-ln2+ln3