Question

求助一道高中数学题

设a,b为实数,b不等于0,x^3+ax+b=0的三个根为α,β,γ,则以1/α+1/β,1/β+1/γ,1/γ+1/α为根的三次方程是（）
A.a^2x^3+2abx^2+b^2x-a=0
B.b^2x^3+2abx^2+a^2x-b=0
C.a^2x^3+2ab^2x^2+bx-a=0
D.b^2x^3+2a^2bx^2+ax-b=0
（所有的指数都是2或3）

Answer 1

因为x^3+ax+b=0的三个根为α,β,γ,所以
x^3+ax+b=（x-α）（x-β）（x-γ）=x^3-（α+β+γ）x²+（αβ+βγ+γα）x-αβγ=0
所以 a=α+β+γ b=-αβγ
新方程的3根之和应为（1/α+1/β）+（1/β+1/γ）+（1/γ+1/α）=2（αβ+βγ+γα）/αβγ=-2a/b
总结前面的规律知道，选项B的3根之和为-2ab/b²=-2a/b，其他均不满足，故选B