Question

三角形abc的高ad,be所在的直线交于点m，若bm=ac,求角abc的度数

Answer 1

分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD=∠MBD，根据一对直角相等，再由BM=AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD=BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC=45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD=BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD=45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC=135°．
解答：解：分两种情况考虑：
当∠ABC为锐角时，如图1所示，
∵AD⊥DB，BE⊥AC，
∴∠MDB=∠AEM=90°，
∵∠AME=∠BMD，
∴∠CAD=∠MBD，
在△BMD和△ACD中，

∠BDM＝∠ADC＝90°
∠DBM＝∠DAC
BM＝AC
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°；
当∠ABC为钝角时，如图2所示，
∵BD⊥AM，BE⊥AC，
∴∠BDM=∠BEC=90°，
∵∠DBM=∠EBC，
∴∠M=∠C，
在△BMD和△ACD中，

∠BDM＝∠ADC＝90°
∠M＝∠C
BM＝AC
∴△BMD≌△ACD（AAS），
∴AD=BD，即△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD=45゜，
则∠ABC=135゜．
好评采纳

追问

给我个图行不

追答

Answer 2

解：延长BA到N，使得AN=AC，连接MN，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD= 12∠BAC=18°，
∵AM⊥AD，
∴∠MAD=90°，
∴∠BAM=90°-18°=72°，
∴∠MAN=180°-∠MAB=180°-72°=108°，
∵∠MAC=90°+18°=108°，
∴∠MAN=∠MAC，
∵AM=AM，AN=AC，
∴△MAN≌△MAC，
∴∠C=∠N，∠NMA=∠CMA，
∵BM=AB+AC，AN=AC，
∴BM=BN，
∴∠N=∠NMB=2∠AMC，
∴∠C=2∠AMC，
∵∠C+∠AMC+∠MAC=180°，
∴3∠AMC=180°-108°=72°，
∴∠AMC=24°，
∴∠ABC=∠AMC+∠MAB=72°+24°=96°，