Question

设平面上向量a=(cosα,sinα)(0≦α<2π)，b=(-1/2，√3/2)，a与b不共线。

设平面上向量a=(cosα,sinα)(0≦α<2π)，b=(-1/2，√3/2)，a与b不共线。(1)证明向量a+b与a-b垂直。(2)当两个向量√3a+b与a-√3b的模相等时，求角a。

Answer 1

（1）
a=(cosα,sinα)(0≦α<2π)，b=(-1/2，√3/2)，a与b不共线
(a+b)(a-b)=a^2-b^2=|a|^2-|b|^2=(cosα)^2+(sinα)^2-(1/4+3/4)
=1-1=0
所以：向量a+b与a-b垂直
（2）
向量√3a+b与a-√3b的模相等
（√3a+b）^2=(a-√3b)^2
3a^2+b^2+2√3ab=a^2+3*b^2-2√3ab
2a^2-2b^2+4√3ab=0
a^2-b^2+2√3ab=0
(cosα)^2+(sinα)^2-1+2√3(-1/2cosα+√3/2sinα)=0
-1/2cosα+√3/2sinα=0
tanα=√3/3
α=π/6或7π/6

追问

第一问第三个等号没看懂

追答

a^2=|a|^2吗
a^2=|a|*|a|*cos
因为=0
所以cos=1
所以a^2=|a|*|a|=|a|^2

追问

丨a丨∧2-丨b丨∧2=(cosα)∧2+(sinα)∧2-(1/4+3/4)

还有〈2〉cos开头的也不明白

追答

a=(cosα,sinα)

a=(x1,x2),b=(y1,y2)
ab=x1y1+x2y2
aa=x1*x1+x2*x2=x1^2+x2^2

追问

谢谢！|a丨∧2=√a∧2不是这样吗？为什么丨a丨∧2=cos∧2α+sin∧2α

追答

a=(x1,x2),
aa=x1*x1+x2*x2=x1^2+x2^2
a^2=x1^2+x2^2

如果a=(cosα,sinα)的话
不就有a^2=丨a丨∧2=(cosα)^2+(sinα)^2