Question

微分方程的建立

Answer 1

根据上述假定和水流连续性原理，可以建立裂隙承压含水层的微分方程。仍然考虑图1—29中那个单元体的水均衡，所取坐标轴和主渗透方向一致。根据第二个假定，这个单元体中的水通过裂隙流入、流出，并服从Darcy定律。因此，在△t时段内沿x轴方向流入这个单元体与流出这个单元体的水量之差（净流入这单元体的水量）为：

地下水动力学（第二版）

式中，

为裂隙的主渗透系数（与x轴平行）。同理可得，△t时段内沿y轴方向和z轴方向净流入这个单元体的水量分别为：

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和

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式中，

、

为裂隙的主渗透系数（分别与y轴和z轴平行）。根据假设，孔隙中释放出的水要进入裂隙，其量为：

C（H—H_f）△x△y△z△t

因此，在△t时间内单元体中总的水量变化（净流入量）为：

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这个时间内，单元体内由于贮存的变化所引起的水量变化为：

地下水动力学（第二版）

式中

为裂隙贮水率。

单元体内水量变化必然引起贮存的变化，两者应相等。于是得

地下水动力学（第二版）

同理，对孔隙有

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式中，K_xx，K_yy，K_zz为沿x，y，z轴方向孔隙的主渗透系数，μ_s为岩块的贮水率。

由于孔隙中的水力坡降很小，可以认为：

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故有：

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式中，

，称为承压水迁移系数。为了建立关于H_f的方程，把（7—28）式改写为：

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这是关于（H-H_f）的一阶线性微分方程。按已知公式，可求得其通解为：

地下水动力学（第二版）

再利用初始条件：

H（x，y，0）=H_f（x，y，0）=H₀（x，y）

代入上式，可得C=0。由此求得其解为：

地下水动力学（第二版）

把上式代入（7—28）式可得：

地下水动力学（第二版）

把它代入（7—26）式，便可得只包括裂隙水头H_f的方程：

地下水动力学（第二版）

上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。在二维情况下可简化为：

地下水动力学（第二版）

式中，

、

为裂隙的主导水系数（分别与x，y轴平行）。μ^f、μ^*为裂隙和岩块的贮水系数。

把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：

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从前面的讨论中不难发现，它表示：

地下水动力学（第二版）

因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层（二维情况下为单位面积的柱体）中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量。抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。和潜水Boulton方程比较，不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。但前者有明确的物理含意。

延迟弹性释水项中包含一个新的参数——承压水迁移系数γ。根据定义，其中比例常数C是反映孔隙和裂隙之间水量交换特征的参数，与孔隙的渗透系数K及多孔岩块的几何特征有关。T.D.Streltsova（1976）认为，

，L为岩块的特征长度，用岩块的平均大小或岩块中心到它表面的平均距离来表示。所以γ值取决于K，L，μ_s等，它是反映孔隙、裂隙发育情况及其连通程度的特征量。γ越小，从孔隙向裂隙运移的水量越少，延迟时间越长；反之，γ越大，从孔隙向裂隙运移的水量越多，延迟的时间越短。

对无压含水层，相应近似的裂隙水流基本方程，在二维情况下为：

地下水动力学（第二版）

式中，

，称为水迁移系数，h为含水层厚度。方程右端第二项的物理含意为延迟弹性释水量与延迟重力排水量之和。

对于完整抽水井，如果含水层是均质、等厚的承压含水层，抽水前，所有裂隙和孔隙中的静水压力相等，以定流量抽水，则有：

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式中，s_f为裂隙中的降深，此时有定解条件：

地下水动力学（第二版）

38）这个定解问题和Boulton问题在形式上相似。因此，不难参照后者的解法求得它的解。

思考题：

1.双重介质渗流学说，为什么要假设一个点有两个水位？在钻孔中测出的水位代表什么水位？

2.边界条件（7—38）改写成

，可以吗？