Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证： （1）D是BC

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB•CE=2DP•AD．

Answer 1

（1）
∵直径所对的圆周角是直角

∴∠ADB=90°
∴∠ADC=90°
在Rt△ABD和Rt△ADC中
∵AB=AC AD=AD（HL）
∴△ABD≌ADC
∴BD=CD
∴D是BC的中点
（2）
∵直径所对的圆周角是直角
∴∠AEB=90°
∴∠AEB=∠BEC=90°
∴∠BEC=∠ADC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
（3）
∵∠AEB＝∠ADB＝90°＝∠BEC ∠CBE＝∠PBD
∴△BDP∽△BEC
∴BD/BE＝DP/EC；
∵△CAD∽△CBE
∴CA/CB＝AD/BE
（即AB/AD＝CB/BE＝2BD/BE＝2DP/EC）
也即AB/AD＝2DP/EC
∴AB•CE=2DP•AD