Question

在锐角三角形△ABC中,a,,b,c分别是角A,B,C的对边，且(a+b+c)(a+b-c)=(2+√3)ac

（1）求角B
（2）若cosA+sinC=√6／2,b=√6-√2,求△ABC的面积
（3）求cosA+sinC的取值范围

Answer 1

1. (a+b+c)(a+c-b)=(2+√3)ac
(a+c)^2-b^2=(2+√3)ac
a^2+2ac+c^2-b^2=2ac+√3ac
a^2+c^2-b^2=√3ac
余弦定理
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=√3/2
由于这是锐角三角形
所以B=30°
2. sinC=sin(150°-A)=sin150°cosA-cos150°sinA=1/2cosA+√3/2sinA
cosA+sinC=3/2cosA+√3/2sinA=√6/2
3/2cosA+√3/2sinA=√3sin(A+60°)=√6/2
sin(A+60°)=√2/2
因为60°<A<90°所以120°<A+60°<150°
所以A+60°=135°
A=75° C=75°
sinA=sin(30°+45°)=(√6+√2)/4
正弦定理
a/sinA=b/sinB
a=2 c=2
S=1/2*ac*sinB=1
3. B=30°
cosA+sinC
=cos(150°-C)+sinC
=cos150°cosC+sin150°sinC+sinC
=-√3/2cosC+3/2sinC
=√3sin(C-60°) 60°<C<90°
0°<C-60°<30°
0<sin(C-60°) <1/2
0<√3sin(C-60°)<√3/2
cosA+sinC的范围 (0,√3/2)