Question

已知数列｛an｝，｛bn｝满足关系a1=2a,an+1=1/2(an+a＾2/an),bn=（an+a）/（an-a）(n∈N*,a>0)

(1)求证：数列{lgbn}是等比数列；
(2)证明：an－a/an+1-a=3^2n-1+1

(3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，Sn与(n＋4
3)a是否有确定的大小关系？若有，请加以证明，若没有，请说明理由．

Answer 1

(1)a1=2a,b1=(a1+a)/(a1-a)=3,
b<n+1>=[(1/2)(an+a^2/an)+a]/[(1/2)(an+a^2/an)-a]=[(an+a)/(an-a)]^2=bn^2,
∴lg(b<n+1>)=2lgbn,
∴数列{lgbn}是等比数列.
(2)lgbn=(lgb1)*2^(n-1)=lg3*2^(n-1),
∴(an+a)/(an-a)=bn=10^[lg3*2^(n-1)]=3^[2^(n-1)],
∴{3^[2^(n-1)]-1}an=a{3^[2^(n-1)]+1},
∴an=a{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1},
∴(an-a)/(a<n+1>-a)
=（{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1}-1）/{[3^(2^n)+1]/[3^(2^n)-1]-1}
注意：3^(2^n)={3^[2^(n-1)]}^2,分子，分母都乘以[3^(2^n)-1],得
3^[2^(n-1)]+1.
(3)an=a{3^[2^(n-1)]+1}/{3^[2^(n-1)]-1}
=a(1+2/{3^[2^(n-1)]-1})
=a(1+1/{3^[2^(n-2)]-1}-1/{3^[2^(n-2)]+1})，
∴n>=2时Sn=a(n+1+1/2-1/4+1/8-1/10+……+1/{3^[2^(n-2)]-1}-1/{3^[2^(n-2)]+1})
<=a[n+1+(1/4)/(1-1/9)]
=a(n+41/32)
<a(n+4/3).