Question

问高手 高数三重积分的问题 急！！

曲面（x^2+y^2+z^2）^3=xyz所围的均匀物体（u=3）的质量为多少？

Answer 1

解：这个问题转化为求这个物体的体积。因为它是均匀的，算出体积乘以密度就可以得到它的质量。
下面求它的体积。这个物体比较奇怪，到现在我也想像不出它的形状。但是从表达式来看，x,y,z的地位是平等的。这个物体可分成四个相同的部分。我们只要求出它在x,y,z都大于0的部分的体积就可以了。下面我们就求这部分的体积，它其实等于积分：（下面用W表示积分号，看起来有点乱，但愿你能看明白）
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz，x,y,z都大于0区域积分）

作球坐标变换T：
x=rcosacosb
y=rsinacosb
z=rsinb
则可以算出
detDT=r^2cosb
其中a,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0。
Wdxdydz(在（x^2+y^2+z^2）^3=xyz，x,y,z都大于0区域积分）
=Wr^2cosbdrdadb(在r^3=cosasinacosbcosbsinb,,b两个角都在0到pi/2之间,r> =0上积分）
=W(Wr^2dr(r从0到（cosasinacosbcosbsinb)^(1/3))上积分）cosbdadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分）
=Wcosbcosasinacosbcosbsinb/3dadb(a,b两个角都在0到pi/2之间积分)
=1/24(这个积分过程很简单我就不详细写了）
所以这个物体体积为1/24*4=1/6
质量1/2。