证明∑x/(x^2+n^2)在(-∞,+∞)上不一致收敛
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对ε = 1/4与任意N > 0, 存在正整数m使2^m > N.
在x = 2^(m+1)处, 考虑级数的部分和∑{2^m ≤ n < 2^(m+1)} x/(x²+n²).
由n < 2^(m+1) = x, 有x/(x²+n²) > x/(2x²) = 1/(2x) = 1/2^(m+2).
故∑{2^m ≤ n < 2^(m+1)} x/(x²+n²) > 2^m·1/2^(m+2) = 1/4 = ε.
根据Cauchy(一致)收敛准则, 级数∑{1 ≤ n} x/(x²+n²)在(-∞,+∞)不是一致收敛的.
在x = 2^(m+1)处, 考虑级数的部分和∑{2^m ≤ n < 2^(m+1)} x/(x²+n²).
由n < 2^(m+1) = x, 有x/(x²+n²) > x/(2x²) = 1/(2x) = 1/2^(m+2).
故∑{2^m ≤ n < 2^(m+1)} x/(x²+n²) > 2^m·1/2^(m+2) = 1/4 = ε.
根据Cauchy(一致)收敛准则, 级数∑{1 ≤ n} x/(x²+n²)在(-∞,+∞)不是一致收敛的.
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