Question

高中数学 解析几何题

已知P(x,y)是圆x²+y²=2y上的动点，
⑴求2x+y的取值范围；
⑵若x+y+a≥0恒成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：
x²＋y²＝2y ===>x²＋(y－1)²＝1
这表示的是以点(0，1)为圆心，半径为1的圆

⑴设z＝2x＋y，求z的取值范围
y＝－2x＋z
这是斜率为－2，纵截距为z的一组平行直线系
当纵截距有最值时，即z有最值。
显然，直线y＝－2x＋z与圆相切时，z有最值
d＝|1－z|/√5＝1
∴z＝1－√5或z＝1＋√5
∴1－√5≤z≤1＋√5
即2x＋y∈[1－√5，1＋√5].

⑵x＋y＋a≥0恒成立 ===>x＋y≥－a恒成立
则只需x＋y(min)≥－a即可
方法同上，可求得x＋y(min)＝1－√2
∴－a≤1－√2
则a≥√2－1
∴a的取值范围为[√2－1，＋∞).

追问

d＝|1－z|/√5＝1 为什么？d=|2x+y-z|/√5我知道

追答

既然相切，那么圆心到直线的距离等于半径
就可以得到上面的式子，进而求z，再求z的范围了。

追问

2x+y=1为什么

追答

看来你学的不够深入呀~~
点到直线的距离公式是：[点(x0，y0)，直线Ax＋By＋C＝0]
d＝|Ax0＋By0＋C|/√[A²＋B²]

上面圆心(0，1)，直线2x＋y－z＝0
则d＝|2*0＋1*1－z|/√[2²＋1]＝|1－z|/√5.

Answer 2

将圆的方程写成一般式，画出圆的图像，设Z=2X+y，平移直线，取出最最大值与最小值即可。（2）同第一问，还是求最大值与最小值。

Answer 3

这个你变量替换，x=cosα,y=1+sinα,剩下 的就是三角函数的事情了。