双曲正余弦函数与三角函数有什么联系?为什么一些公式十分相似?请你说的详细一点,我没学。谢谢。 5
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(1)符号类似。双曲正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数的表示符号都是在相应三角函数的表示符号后面多加一个“h”,即sinh、cosh、tanh、coth、sech、csch。
(2)性质类似。
1.奇偶性。函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数,就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
2.cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1,而(sinx)^2+(cosx)^2=1;tanh^2(x) + sech^2(x)=1,而(secx)^2+1=(tanx)^2,即(tanx)^2-(secx)^2=1
3.求导的相似性。
(sinh(x))'=cosh(x)
(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
4.积分的相似性。
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
5.其他。(后面这些很少会用到)
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh^2(x))
coth(2x) = (1+coth^2(x))/2coth(x)
半角公式
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
tanh(x / 2) = (cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)
coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)
参考资料:http://baike.baidu.com/view/478416.htm
(2)性质类似。
1.奇偶性。函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。函数 sinh x 是奇函数,就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。
2.cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1,而(sinx)^2+(cosx)^2=1;tanh^2(x) + sech^2(x)=1,而(secx)^2+1=(tanx)^2,即(tanx)^2-(secx)^2=1
3.求导的相似性。
(sinh(x))'=cosh(x)
(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
4.积分的相似性。
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c
5.其他。(后面这些很少会用到)
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=(1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh^2(x))
coth(2x) = (1+coth^2(x))/2coth(x)
半角公式
cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2
sinh^2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2
tanh(x / 2) = (cosh(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1)
coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x)
参考资料:http://baike.baidu.com/view/478416.htm
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