Question

已知f(x)为二次函数，且f(0)=2，f(x+1)-f(x)=x-1，求f(x)

Answer 1

因为f(x)为二次函数，且f(0)=2，
所以
设f(x)=ax²＋bx+2
f(x+1)=a(x+1)²＋b(x+1)+2
又f(x+1)-f(x)=x-1
所以
a(x+1)²＋b(x+1)+2-（ax²＋bx+2）=x-1
2ax+a+b=x-1
2a=1
a+b=-1
所以
a=1/2
b=-3/2
所以
f(x)=1/2x²-3/2x+2

追问

2a=1
a+b=-1 为什么 其他都懂 就这点不清

追答

2ax+a+b≡x-1
所以
左边和右边的x前面的系数相同
常数项相同
即
2a=1
a+b=-1

Answer 2

答：
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=2
f(x)=ax^2+bx+2
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+2
上两式相减得：
f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=x-1
所以：
2a=1
a+b=-1
解得：a=1/2，b=-3/2
所以：f(x)=x²/2-3x/2+2

Answer 3

解：令f(x)=ax²+bx+c，由题意得
f(0)=c=2
∴c=2
∵f(x+1)-f(x)=x-1
∴[a(x+1)²+b(x+1)+2]-(ax²+bx+2)=x-1
(ax²+2ax+a+bx+b+2)-(ax²+bx+2)=x-1
ax²+2ax+a+bx+b+2-ax²-bx-2=x-1
2ax+a+b=x-1
∴2a=1，a+b=-1
∴a=2分之1，b=-2分之3
∴a=2分之1，b=-2分之3，c=2
∴f(x)=2分之1x²-2分之3x+2