Question

(1)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|向量OB-向量OC|=|向量OB+向量OC-2向量OA|,则△ABC的形状

为
（2）若D为三角形ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足向量PA+向量BP+向量CP=0向量，设|向量AP|/|向量PD|=a，求a的值
（3）若点O是三角形ABC的外心，且向量OA+向量OB+向量CO=0向量，则三角形ABC的内角C为
（4）已知向量a=（sinx，cosx），向量b=（sinx，sinx），向量c=（-1,0）若x∈[-3π/8,π/4]，函数f（x）=q向量a乘以向量b的最大值为1/2,求q的值
（5）已知A（a，0），B（3,2+a），直线y=1/2ax与线段AB交于M，且向量AM=2向量MB，则a等于
好了加分

Answer 1

1
|OB-OC|=|OB+OC-2OA|
即：|CB|=|OB-OA+OC-OA|
即：|AB-AC|=|AB+AC|
故：AB·AC=0，即：AB与AC垂直
即△ABC是以A为直角的直角△
2
PA=PB+PC=2PD
故：|PA|=2|PD|，即：|AP|/|PD|=|PA|/|PD|=2
即：a=2
3
OA+OB=OC
故：|OC|^2=|OA|^2+|OB|^2+2OA·OB
即：r^2=2r^2+2r^2cos(2C)
即：cos(2C)=-1/2，即：2cosC^2-1=-1/2
即：cosC^2=1/4，即：cosC=1/2或-1/2
即：C=π/3或2π/3
4
a·b=sinx^2+sinxcosx=(1-cos(2x))/2+sin(2x)/2
=(sin(2x)-cos(2x))/2+1/2
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
x∈[-3π/8,π/4]，故：2x-π/4∈[-π,π/4]
故：sin(2x-π/4)∈[-1,√2/2]
故：a·b的最大值：1
故：q=1/2
5
设M(x,y)
AM=(x-a,y)，MB=(3-x,2+a-y)
AM=2MB，故：(x-a,y)=2(3-x,2+a-y)
即：3x=a+6，即：x=(a+6)/3
3y=2a+4，即：y=(2a+4)/3
M点在直线y=ax/2上
故：(2a+4)/3=(a/2)((a+6)/3)
即：a^2+2a-8=(a-2)(a+4)=0
故：a=2或-4

追问

第3题只有一个120°，第4题q有两解1/2或-根号2-1

追答

是的，不好意思，没检查
但你要是一个一个的问，估计就不会出现这种问题了，题目太多了
3
OA+OB=OC
故：|OC|^2=|OA|^2+|OB|^2+2OA·OB
即：r^2=2r^2+2r^2cos(2C)
即：cos(2C)=-1/2
2C表示OA与OB的夹角，应该是[0,π]的角
解出2C=2π/3，即：C=π/3
但这对应的是锐角三角形的情况
此时不满足：OA+OB=OC
=2π/3还对应OA于OB成4π/3的情况
注意：这里的4π/3不是向量夹角的概念，是∠C2倍的概念
对应∠C为钝角的情况，外心的题目里会遇到这种情况
即：2C=4π/3，即：C=2π/3
满足：OA+OB=OC
4
a·b=sinx^2+sinxcosx=(1-cos(2x))/2+sin(2x)/2
=(sin(2x)-cos(2x))/2+1/2
=(√2/2)sin(2x-π/4)+1/2
故：f(x)=(q√2/2)sin(2x-π/4)+q/2
x∈[-3π/8,π/4]，故：2x-π/4∈[-π,π/4]
故：sin(2x-π/4)∈[-1,√2/2]
q≥0时，当2x-π/4=π/4，即：x=π/4时，f(x)取得最大值：q
故q=1/2
q<0时，当2x-π/4=-π/2，即：x=-π/8时，f(x)取得最大值：(1-√2)q/2
故(1-√2)q/2=1/2，即：q=-√2-1