Question

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大题求过程，谢谢

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Answer 1

1、原等式两端对 x 求导：[x(1+x)]'*f[x(1+x)]=6x²+6x+1=6x(1+x)+1；
令 t=x(1+x)，则上式变为 (2x+1)f(t)=6t+1，即 f(t)=(6t+1)/(2x+1)；
再由 t=x(1+x)，反求得 2x+1=±√(1+4t)，代入上式：f(t)=(6t+1)/±√(1+4t)；
∴ f(6)=±(6*6+1)/√(1+4*6)=±37/5；
2、∫{x=-π/2→π/3}(1+x³)cosxdx=∫cosxdx+∫x³cosxdx=sinx|{-π/2,π/2}=2；
3、{x=1→3}∫x³dx-∫x²dx=[(x²)²/4 -x³/3]}{1,3}=[(3²)²/4 -3³/3]-[(1/4)-(1/3)]=(81/4 -9)+1/12>0；
所以前者大于后者；
4、∫(x=-c→c)f(a-x)dx＝∫{x=-c→0}f(x-a)dx+∫{x=0→c}f(a-x)dx＝-∫{x=0→-c}f(a-x)dx+∫{x=0→c}f(a-x)dx
＝-∫{-t=0→-c}f(a+t)d(-t)+∫{x=0→c}f(a-x)dx＝-∫{t=0→c}f(a-t)dt+∫{x=0→c}f(a-x)dx=0→D；
5、设 √(1+x)=t，则 x=t²-1，dx=2tdt；
原式＝∫{t=0→2}[(lnt²)/t](2tdt)＝2t²*lnt-∫2tdt＝2t²lnt-t²|{1,2}＝2*2²ln2 -2² -(-1²)=8ln2 -3；
6、lim{x→0}{[∫cos²t dt]/x}=lim{[cos²x]/1}=1；
7、坐标变化区间：x=0→2，y=0→x³；V=∫{}x=0→2}πy²dx=∫π(x³)²dx=π(x^7)/7}{0,2}=128π/7；
8、设切点坐标 (m,m²)，切线斜率：k=2m，切线方程：y-m²=2m(x-m) → x=m+(y-m²)/(2m)；
切线与 x 轴交点：(m/2,0)；
S＝∫{x=0→m}(x²-0)dx -[(m -m/2)*m²/2]＝(m³/3)-(m³/4)＝m³/12=|1/12|，∴ m=±1；
9、∫{x=-π→π}sinmxsinnx dx=(1/2)*∫{x=-π→π}[(cos(mx-nx) -cos(mx+nx)]dx
=(1/2)*∫{x=-π→π}[(cos(mx-nx)；
因为 m、n 是正整数，所以上式积分区间刚好包含余弦函数的若干完整周期，若 m≠n，三角函数在完整周期上的积分为0；若 m=n，余弦函数值等于1，积分结果等于 π；
10、f(x) 是偶函数，则 f(-x)=-f(x)；F(x)=∫{t=0→x}(x-2t)dt；
F(-x)＝∫{t=0→-x}(-x-2t)f(t)dt＝∫{-u=0→-x}(-x+2u)f(-u) d(-u)＝∫{u=0→x}(x-2u)f(u) du＝F(x)；

Answer 2

1. f(x(1+x))(1+2x)=6x^2+6x+1

   f(6)=37/5