Question

已知函数f(x)=x²+a/x

Answer 1

f(x)=x+a²/x=
(√x-a/√x)^2+2
x>0时，√x-a/√x＝0时最小为x=a
所以然最小值是2,最大值在x=1或x=4时，
f(1)=1+a^2,f(4)=4+a^2/4
当1+a^2>4+a^2/4
3a^2>12
a^2>4
2＜a＜＝4时，最大值是1+a^2
当1+a^2=4+a^2/4,a=2时，最大值是5
当1+a^2＜4+a^2/4,1＜＝a＜2时最大值是4+a^2/4

Answer 2

答：
f(x)=x²+a/x
1）定义域满足x≠0，关于原点对称
f(-x)=(-x)²+a/(-x)=x²-a/x
当a=0时：f(-x)=x²=f(x)，为偶函数
当a≠0时：f(-x)≠f(x)，f(-x)≠-f(x)，为非奇函数非偶函数
2）设m>n>=2，f(x)是增函数
f(m)-f(n)
=m²+a/m-n²-a/n
=(m-n)(m+n)+a(n-m)/(mn)
=(m-n)[m+n-a/(mn)]>0
因为：m>n
所以：m+n-a/(mn)>0在m>n>=2时恒成立
m+n>=a/(mn)
当a<=0时满足题意
当a>0时：(m+n)mn>(2+2)*2*2>=a，a<=16
综上所述：a<=16