Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点。

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点。
（1）如图1，若点P在线段OA上运动（不与点A、O重合），作PE⊥PB交CD于点E.
①求证：∠PDE=∠PED；
②线段PC、PA、CE之间存在一个等量关系PC-PA=（根号2)CE，证明这个结论；
（2）如图2，若点P在线段OC上运动（不与点O、C重合），作PE⊥PB交直线CD于点E.判断（1）中的两个结论是否仍然成立？若不成立，写出相应的结论。

Answer 1

①求证：∠PDE=∠PED；
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
AC平分∠BAD和∠BCD
AC⊥BD
∴∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠CDB=45°
又∵AP是公共边
∴△BAP≌△DAP
∴BP=DP
∴∠PBD=∠PDB
又∵PB⊥PE，AC⊥BD
∴∠BPC+∠CPE=90°
∠BPC+∠PBD=90°
∴∠CPE=∠PBD
∴∠CPE=∠PDB

又∵∠PDE=∠PDB+∠CDB
∠PED=∠CEP+∠ACD
∴∠PDE=∠PED

②线段PC、PA、CE之间存在一个等量关系PC-PA=（根号2)CE，证明这个结论；
证明：过P作PM⊥DC，垂足为M
过E作FE⊥DC，交AC于F
则FE∥PD∥AD
∵∠PDE=∠PED
∴PD=PE
∴DM=EM
∴PA=PF
又∵∠ACD=45°
∴⊿FEC是等腰直角三角形
∴FC= （根号2)CE
又∵PC=PF+FC
∴PC-PA=（根号2)CE

（2）如图2，若点P在线段OC上运动（不与点O、C重合），作PE⊥PB交直线CD于点E.判断（1）中的两个结论是否仍然成立？若不成立，写出相应的结论。

（1）中的两个结论不成立
因为点P在线段OC上运动（不与点O、C重合）时，垂直于PB的直线PE不与CD相交，而且
PC-PA＜0，故（1）中的两个结论不成立。