Question

分段函数f（x）＝{x^2＋1，x＞＝0；＝1，x＜0}则满足不等式f（1－x^2）＞f（2x）的x取值范围是？（答案...

分段函数f（x）＝{x^2＋1，x＞＝0；＝1，x＜0}则满足不等式f（1－x^2）＞f（2x）的x取值范围是？（答案是-1<x< 根2－1）[对于这类题我不知道怎么从分段函数入手，且分段函数与不等式有什么关系，是利用它判断单调性，然后再脱名称？如果是怎样利用]请详解。

Answer 1

观察法+分类讨论

观察：
显然当x>0时
x^2+1>0+1=1

而x<=0时
f(x)=1

所以一种可能是
1-x^2>0而且2x<=0
即-1<x<=0
-----------------------------------------
另一种可能是1-x^2,2x都在x>=0上
那么
f(1-x^2)>f(2x)
变为
(1-x^2)^2+1>(2x)^2+1
1-x^2>=0 ->-1<=x<=1
2x>=0 -> x>=0
联立可得
x^4-2x^2+2>4x^2+1
x^4-6x^2+1>0
x>=0
可得
x^2>3+2根号2或者x^2<3-2根号2

再开根,结合x>0
0<x<根号2-1
或者x>根号2+1

和0<=x<=1相交得到
0<x<根号2-1

再和第一种情况合并可得
-1<x<根号2-1

Answer 2

从函数的变量入手
当当x＜0时,2x＜0①
f（2x)=0只需1-x²＞0 则f（1-x²）=（1-x²﹚²+1＞1即 -1＜ x＜1②
综合①②知 -1＜ x＜0
当x≧0时③
因为f(x)=x²+1在[0，∞）上递增
只需1－x²＞2x解得 -1-√2 ＜x＜√2-1④
综合③④知 0 ≤ x＜√2-1
综合两种情况知道满足条件x的取值范围为-1<x< √2－1