Question

谁能帮我出一道关于勾股定理的题？

Answer 1

．等边三角形的高是h，则它的面积是(       )

 

　　A． h²B． h²C． h²D． h²

　　答案：B

　　说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD=h，因为∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；设BD=x，则AB=2x，且有x²+h²=(2x)²，解之得x= h，因为BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h²，所以答案为B．

　　2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为(       )

　　A． 12cm²      B． 10cm ²      C． 8cm²      D． 6cm²

　　答案：D

　　说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：

　　由①得x+y=7③，由③得(x+y)²=7²，即x²+y²+2xy=49，因为x²+y²=25，所以25+2xy=49，即xy=12，这样就有S= xy = ×12=6，所以答案为D．

　　3．下列命题是真命题的个数有(       )

　　①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为

　　②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为

　　③在直角三角形中，若两条直角边长为n²−1和2n，则斜边长为n²+1

　　④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5

　　A．1个      B．2个      C．3个      D．4个

　　答案：D

　　说明：①因为另一条直角边长的平方为( )²−1²=3−1=2，所以另一条边长为 是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知 •k•2k=2，所以k= ，故两直角边长为 ，2 ，所以斜边长为 = ，故②正确；③因为(n²−1)²+(2n)²=n⁴−2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1=(n²+1)²，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为 =5，故④正确；所以答案为D．

　　4．直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是(       )

 

　　A． + 2mB． +mC．2( +m)D．2 +m

　　答案：C

　　说明：如图，设AC=x，BC=y，则 xy=S；因为CD为中线，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x²+y²=( 2m)²=4m²，(x+y)²=x²+2xy+y²=(x²+y²)+2xy=4m²+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案为C．

　　5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是(       )

 

　　A．10 −15B．10−5 C．5 −5D．20−10

　　答案：D

　　说明：设DC=x，因为∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x

　　因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x

　　由勾股定理得：x²+(5−2x)²=(2x)²，即x²−20x+25=0，解得x= =10±5

　　因为DC<BC=5，所以x=10+5 应舍去，故x=10−5 ，所以CE=2x=2(10−5 )=20−10 ，答案为D．

　　6．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有(       )

　　A．0个      B．1个      C．2个      D．3个

　　答案：C

　　说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有2²+4²=a²，可得a=2 ；②若a为直角边长，则由勾股定理有2²+a²=4²，可得a=2 ，所以a的取值可以有2个，答案为C．

　　7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为(       )米

　　A．0.7      B． 0.8      C．0.9      D．1.0

　　答案：A

　　说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为 = = =0.7，答案为A．

　　8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为(       )

　　A．6      B． 8      C．10      D．12

　　答案：C

　　说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x²+6²=(x+2)²，解之得x=8，所以斜边长为8+2=10，答案为C．

　　 9．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB²−AC²=2BC·EF

　　证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB²=AF²+BF²

　　在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC²=AF²+FC²

　　所以AB²−AC²=BF²−FC²=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)

　　因为BF=BE+EF，FC=EC−EF，BE=EC

　　所以BF−FC=2EF

　　所以AB²−AC²=BC•2EF=2BC•EF

　　10．如图，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC=9，FC=3，求 AB．

　　解：如图，作AD⊥BC

　　因为EF⊥BC，所以AD//EF

　　因为E为AC中点，所以F为DC的中点

　　因为FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6

　　因为BC=9，所以BD=9−6=3

　　设EC=x，则AC=2x

　　由勾股定理得：AC²=AD²+DC²，AB²=AD²+BD²

　　所以AC²−AB²=DC²−BD²①

　　即AC²−AB²=6²−3²=27

　　因为∠A=90º，由勾股定理得AB²+AC²=BC²=81②

　　由②−①得2AB²=81−27=54，所以AB²=27，即AB= =3

 

习题精选二

　　1．判断题

　　⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角．

　　⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题．

　　⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

　　⑷△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形．

　　答案：对，错，错，对；

　　2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（   ）

　　A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形．

　　B．如果c²=b²—a²，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°．

　　C．如果（c＋a）（c－a）=b²，则△ABC是直角三角形．

　　D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形．

　　答案：D

　　3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（   ）

　　A．a=8，b=15，c=17　　B．a=9，b=12，c=15　　C．a= ，b= ，c= 　　D．a：b：c=2：3：4

　　答案：D

　　4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

　　⑴a= ，b= ，c= ；         ⑵a=5，b=7，c=9；

　　⑶a=2，b= ，c= ；            ⑷a=5，b= ，c=1．

　　答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．

　　5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确．

　　⑴如果a³＞0，那么a²＞0；

　　⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

　　⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

　　⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等．

　　答案：⑴如果a²＞0，那么a³＞0；假命题．

　　⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题．

　　⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题．

　　⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题．

　　6．填空题．

　　⑴任何一个命题都有        ，但任何一个定理未必都有         ．

　　⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是          ．

　　⑶在△ABC中，若a²=b²－c²，则△ABC是        三角形，         是直角；若a²＜b²－c²，则∠B是          ．

　　⑷若在△ABC中，a=m²－n²，b=2mn，c=m²＋n²，则△ABC是         三角形．

　　答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．

　　⑸小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是               ．

　　答案：向正南或正北．

　　7．若三角形的三边是 ⑴1、、2； ⑵ ； ⑶3²，4²，5² ⑷9，40，41； ⑸(m+n)²－1，2(m+n)，(m+n)²+1；则构成的是直角三角形的有（   ）

　　A．2个        B．3个　　　　　C．4个　　　　　　D．5个

　　答案：B

　　8．若△ABC的三边a、b、c，满足(a－b)(a²＋b²－c²)=0，则△ABC是（   ）

　　A．等腰三角形；　　B．直角三角形；　　C．等腰三角形或直角三角形；　　D．等腰直角三角形．

　　答案：C

　

　　9．如图，在操场上竖直立着一根长为 2米的测影竿，早晨测得它的影长为 4米，中午测得它的影长为 1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？

　　答案：能，因为BC²=BD²+CD²=20，AC²=AD²+CD²=5，AB²=25，所以BC²+AC²=AB²

　　 10．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？

　　答案：由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向为北偏东50°．

　　11．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量．小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米， DA=12米，又已知∠B=90°．

　　提示：连结AC．AC²=AB²+BC²=25，AC²+AD²=CD²，因此∠CAB=90°，

　　S_四边形=S_△ADC+S_△ABC=36平方米．

　　12．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD²=AD·BD．求证：△ABC中是直角三角形．

　　提示：∵AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，∴AC²+BC²=AD²+2CD²+BD²=AD²+2AD·BD+BD²=（AD+BD）²=AB²，∴∠ACB=90°．

　13．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm．求证：△ABC是等腰三角形．

　　提示：因为AD²+BD²=AB²，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC．

　　 14．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC²=AE²+CE²．求证：AB²=AE²+CE²．

　　提示：有AC²=AE²+CE²得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB²=AE²+CE²．

　　15．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，试判定△ABC的形状．

　　提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）²=16，a²+2ab+b²=16，ab=1，所以a²+b²=14．又因为c²=14，所以a²+b²=c² ．