Question

设积分区域d为x^2+y^2>=2x,x^2+y^2<=4,求∫∫(√(x^2+y^2))dxdy

详细一些好不好

Answer 1

积分域在D₁：x² + y² = 4的内面但在D₂：x² + y² = 2x的外面，采用大减少的方法。
∫∫D₁ √(x² + y²) dxdy
= ∫(0，2π) dθ ∫(0，2) r * r dr
= 2π * (1/3) * 2³
= 16π/3
∫∫D₂ √(x² + y²) dxdy
= ∫(- π/2，π/2) dθ ∫(0，2cosθ) r * r dr
= 2∫(0，π/2) (1/3) * (8cos³θ) dθ
= (16/3) * (3 - 1)!!/3!!
= 16/3 * 2/3
= 32/9
因此∫∫D √(x² + y²) dxdy = 16π/3 - 32/9 = (16/9)(3π - 2)

追问

2cosθ怎么来的

追答

极坐标变换：x = rcosθ，y = rsinθ
x² + y² = 2x
(rcosθ) + (rsinθ)² = 2(rcosθ)
r²(cos²θ + sin²θ) = 2rcosθ
r² = 2rcosθ
r = 2cosθ ==> 0 ≤ r ≤ 2cosθ

另一个也是这样：
x² + y² = 4
r²cos²θ + r²sin²θ = 4
r² = 4
r = 2 ==> 0 ≤ r ≤ 2

Answer 2

如图所示