Question

已知,等边⊿ABC中,P为直线AC上一动点,连结BP,作∠BPQ=60º,交直线BC于点N.

（1）当P在线段AC上时，证明PA*PC=AB*CN
(2)若P在线段AC的延长线上，上述关系是否成立（PA*PC=AB*CN）
(3)若P在线段CA的延长线上，CN=1.5，BC=2，求AP、BP的长。

Answer 1

1、证明PA*PC=AB*CN，即PA/AB=CN/PC,即PAB相似NCP
实际上，BAP=60度，PCN=60度； 角BAP+ABP=BPC=60+ABP=60+CPN,即角ABP=角CPN；故相似，证明结束
2、证明结论，即证PA/AB=CN/PC,即PAB相似NCP
实际上，角NCP=60度=PAB;角ABP=60度+CBP=60度+(180-120-角CPB)------说明：三角形BCP中CPB=180-另外两个角
=120-角CPB=120-（120-角CPN）=角CPN，故两个相似，结论成立。
3、还是先证明上述结论：角PBA=180-PAB-BPA=60-BPA=BPN-BPA=角CPN；角PAB=角NCP=120度，两个三角形相似
！然后PA*PC=AB*CN=2*1.5=3
PA*PC=PA*(PA+2)=3，所以，PA=1或者-2（舍）；BP的平方=1+4+2=7，BP=根号7（三角形PAB中用余弦定理）