Question

高等数学 二重积分求极限 如图

之前有一道题目是用二重积分中值定理解的，这道我用了中值定理就错了，答案也不是用中值定理做的，为什么这道不行啊

Answer 1

所有的等价无穷小替换其实都是替换时同时乘了一个极限为1的分式。这里不能等价无穷小替换，因为tant-t=1/3t^3+o(t^3)，当t的三次方高阶无穷小在分母时会使分式为无穷。这里如果是从泰勒展开的角度来看便能很快地发现问题。

这道题的具体解法应该分子极坐标化，然后交换积分次序后使用洛必达法则，即可去掉分母，直接计算极限

Answer 2

没有图啊啊啊啊

Answer 3

原因在于极限式子中并不是分子分母都用了中值定理。用中值定理后，那个ε，η和t之间，对于不同的函数，具有不同的确定的关系，分子分母差了一个系数。

由一元函数积分中值定理求极限有类似的结论。